Question

13．如图，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）更好函数的解析式得到B（9，0），C（0，3$\sqrt{3}$），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，AG=$\frac{1}{2}$t，于是得到P（$\frac{1}{2}$t-3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），把OQ=9-2t代入二次函数的解析式即可得到D（9-2t，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据折叠坐标公式得到F（-$\frac{3}{4}$t+3，-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{19}{12}$$\sqrt{3}$t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由y=0得-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$=0，
解得：x₁=-3，x₂=9，
∴B（9，0），
由x=0得y=3$\sqrt{3}$，
∴C（0，3$\sqrt{3}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b，∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（-3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），
∴OA=3．OC=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠CAO=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=60°，
∵AP=t，
∴PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，AG=$\frac{1}{2}$t，
∴OG=3-$\frac{1}{2}$t，
∴P（$\frac{1}{2}$t-3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
∵DQ⊥x轴，BQ=2t，
∴OQ=9-2t，
∴D（9-2t，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（$\frac{1}{2}$t-3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），D（9-2t，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$t），
∴-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$t=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{15}{4}$，∴当PQ=PD时，t的值是$\frac{15}{4}$；
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t-3+9-2t）=-$\frac{3}{4}$t+3，F的纵坐标为$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$t）=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{19}{12}$$\sqrt{3}$t，
∴F（-$\frac{3}{4}$t+3，-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{19}{12}$$\sqrt{3}$t），
∵点F在直线BC上，
∴-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$t²+$\frac{19}{12}$$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（-$\frac{3}{4}$t+3）+3$\sqrt{3}$，
∴t=3，
∴F（$\frac{3}{4}$，$\frac{11\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，矩形的判定和性质，中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键．