Question

4．如图1所示，过点M作⊙N的切线MA、MB，切点分别为A、B，连接MN
（1）求证：∠AMN=∠BMN．
（2）如图2所示，在图1的基础上作⊙M，过⊙N的圆心N作⊙M的切线NC、ND，切点分别为C、D，MA、MB分别与⊙M交于点E、F，NC、ND分别与⊙N交于点G、H，MA与ND交于点P．求证：sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$．
（3）求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 （1）首先连接NA，NB，由MA、MB是⊙N的切线，利用HL易证得Rt△AMN和Rt△BMN，继而证得结论；
（2）首先连接MD，由ND是⊙M的切线，可求得sin∠DPM=$\frac{MD}{MP}$，继而证得sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$；
（3）易证得EH∥MN，继而证得∠FEH=90°，∠EFG=∠FGH=90°，则可证得结论．

解答 证明：（1）如图，连接NA、NB，
∵MA、MB是⊙N的切线，
∴∠MAN=∠MBN=90°，
在Rt△AMN和Rt△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{NA=NB}\\{MN=MN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMN和Rt△BMN（HL），
∴∠AMN=∠BMN；

（2）如图2，连接MD，
∵ND是⊙M的切线，
∴∠MDP=90°，
∴sin∠DPM=$\frac{MD}{MP}$，
∵MD=ME，
∴sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$；

（3）由（2）可得sin∠APN=$\frac{NH}{NP}$，
∴$\frac{ME}{MP}$=$\frac{NH}{NP}$，
∴EH∥MN，
∵ME=MF，∠AMN=∠BMN，
∴MN⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴∠FEH=90°，
同理可证∠EFG=∠FGH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．

点评 此题属于圆的综合题，考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．