Question

2．（1）填空：（a-b）（a+b）=a²-b²，（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³，
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
（2）猜想：（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ（其中n为正整数，且n≥1）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
2⁹+2⁸+2⁷+…+2³+2²+2．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（1）（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b⁴=a⁴-b⁴；

（2）由（1）的规律可得：（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ，

（3）2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2
=（2-1）•（2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2）
=2¹⁰+2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²-（2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2）
=2¹⁰-2
=1024-2
=1022．
故答案为：a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴；aⁿ-bⁿ．

点评 此题考查了数字的变化规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．