Question

5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点．
（1）试判断重叠部分三角形BED的形状，并证明你的结论；
（2）若BE平分∠ABD，AB=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得，∠C=∠C'=90°，∠BDC'=∠BDC，然后根据矩形的性质，可得∠ABD=∠CDB，由∠ABD+∠ADB=∠C'DB+∠C'BD=90°，得出∠ADB=∠C'BD，证得△BED为等腰三角形；
（2）由角平分线的性质可得∠ABE=∠EBD，求出∠ABE=∠EBD=30°，在直角△ABD中，求出BD的长度．

解答 解：（1）由折叠的性质可得，∠C=∠C'=90°，∠BDC'=∠BDC，
在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠BDC'=∠CDB，
∵∠A=∠C=∠C'=90°，
∴∠ABD+∠ADB=∠C'DB+∠C'BD=90°，
∴∠ADB=∠C'BD，
∴△BED为等腰三角形；

（2）∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠ABE=∠EBD=∠EBD=30°，
在Rt△ABD中，
∵AB=3，
∴BD=2AB=6．．

点评 本题考查了折叠的性质，涉及了矩形的性质、角平分线的性质，注意掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．