Question

3．如图．已知AD⊥BD，AC⊥BC，AC与BD交于点F，E为AB的中点，
（1）证明：DE=CE；
（2）试探究∠DEC以与∠DFC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和进行解答即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥BD，E为AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
：∵AC⊥BC，E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=CE；
（2）答：∠DFC=90°+$\frac{1}{2}$∠DEC．
解：∵ED=EB，
∴∠1=∠2，
∵EA=EC，
∴∠3=∠4，
∵∠DEA=∠1+∠2=2∠1，
∠BEC=∠3+∠4=2∠4，
∴2∠1+2∠4=180°-∠DEC，
即∠1+∠4=90°-$\frac{1}{2}$∠DEC，
∠DFC=∠4+∠5=∠4+∠1+∠DEC，
即∠DFC=90°-$\frac{1}{2}$∠DEC+∠DEC，
∴∠DFC=90°+$\frac{1}{2}$∠DEC．

点评 本题考查的是直角三角形斜边上的中线、三角形的外角的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．