Question

9．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有（　　）个．
①BF=AC；②AE=$\frac{1}{2}$BF；③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}．

• A． 5个
• B． 2个
• C． 4个
• D． 3个

Answer 1

分析 只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断⑤错误．

解答 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}\\{∠A=∠DFB}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故③正确，
∴BA=BC，
∵BE⊥AC，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S_△DGB＞S_△GHB，
∵S_△ABE=S_△BCE，
∴S_{四边形ADGE}＜S_{四边形GHCE}．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故选C．

点评 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．