Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，图象如图所示．给出下面五个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b²-4ac＞0；④a+b＞m（am+b）（m为实数，且m≠1）；⑤2c＞3b．
其中正确的有②③④ （写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；

②∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，即2a+b=0，正确；

③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，正确；

④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m≠1时，y=am²+bm+c，
所以a+b+c＞am²+bm+c，
故a+b＞am²+bm，即a+b＞m（am+b），正确；

⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-$\frac{b}{2a}$=1，
即a=-$\frac{b}{2}$，代入得9（-$\frac{b}{2}$）+3b+c＜0，得2c＜3b，错误；
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．