Question

9．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°，若BC=10，求BE•CD．

Answer 1

分析 易知∠B=∠C，只需再证明一对角相等即可．根据外角易证∠BAE=∠ADC．根据勾股定理，BC²=2AB²，所以需证AB²=BE•CD．进而解答即可．

解答 解：在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                               
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                    
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．                                          
∴△ABE∽△DCA．                                         

（2）由△ABE∽△DCA，得$\frac{BE}{AB}=\frac{AC}{CD}$．                      
∴BE•CD=AB•AC．                                          
而AB=AC，BC²=AB²+AC²，
∴BC²=2AB²．                                              
∴BC²=2BE•CD，
∴BE•CD=50

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．