Question

19．已知，如图1，点A是半径为r的⊙O上的点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n
（1）若m=2，n=4时，求r的值；
（2）若r=2，⊙O上是否存在点C，使得△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由？
（3）若m=2，⊙O上存在唯一点M与PB构成以PB为底的等腰三角形，求n的值．（图2、图3供解题时使用）

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线的性质可知：OB⊥BP，然后在Rt△OBP中，利用勾股定理求得r的值即可；
（2）若△PBC是等边三角形，则必有PB=PC，由于PB是⊙O的切线，且C在⊙O上，那么若存在符合条件的C点，则PC必与⊙O相切，且切点为C（切线长定理）．若△PBC是等边三角形，则∠BPC=60°，∠BPO=30°，可连接OB，在Rt△OBP中，通过解直角三角形即可求得AP的长即m的值；
（3）若存在等腰△PBM，且以PB为底，那么M点必在线段PB的垂直平分线上，而⊙O上存在唯一点M，那么线段PB的中垂线与⊙O相切，且切点为M．连接OM，易证得四边形OBDM是正方形，则BP=2r，OB=r，OP=r+2，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得r的长，进而可得到PB的长，从而可求得n的值．

解答 解：（1）如图1所示，连接OB．

∵BP是圆的切线，
∴OB⊥PB．
设圆的半径为r，在Rt△OPB中，由勾股定理可知：OB²+BP²=OP²，即r²+4²=（r+2）²．
解得：r=3．
（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；
如图2，当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，
∴△PBC为等边三角形；
连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．
（3）如图3，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求，连接OB、OM．

∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四边形OMDB为正方形，
∴PD=BD=r．
∴BP=2r．
在Rt△OPB中，由勾股定理得：OB²+BP²=OP²，即：r²+（2r）²=（r+2）²．
解得：r₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，r₂=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去）．
∴n=2r=$\sqrt{5}+1$．

点评 此题考查了勾股定理、切割线定理、切线长定理、等腰三角形和等边三角形的判定、切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大，证得四边形OBDM为正方形是解题的关键．