Question

7．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多300元，商场用10000元购进电冰箱的数量与用8000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

分析 （1）设每台空调进价x元，每台电冰箱进价为（x+300）元，根据：“用10000元购进电冰箱的数量与用8000元购进空调的数量相等”列分式方程求解可得；
（2）设购进电冰箱x台，则空调有100-x台，根据“总利润=冰箱利润+空调利润”列出函数解析式，再由“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元”求得x的取值范围即可得；
（3）由（2）中相等关系列出新的函数解析式，根据一次函数性质分情况讨论即可得．

解答 解（1）设每台空调进价x元，每台电冰箱进价为（x+300）元，
$\frac{10000}{x+300}$=$\frac{8000}{x}$，
解得：x=1200，
x+300=1500，
经检验：x=1200是原分式方程的解，
答：每台空调进价1200元，电冰箱进价1500元；

（2）设购进电冰箱x台，则空调有100-x台，
根据题意，得：y=（1600-1500）x+（1400-1200）（100-x）=-100x+20000，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{-100x+20000≥16200}\\{100-x≤2x}\end{array}\right.$，
解得：33$\frac{1}{3}$≤x≤38，
∵x为正整数
∴x=34、35、36、37、38，
∴共有5种方案，如下表：

电冰箱台数	34	35	36	37	38
空调台数	66	65	64	63	62

（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元，则
Y=（1600-1500+k）x+（1400-1200）（100-x）
=（k-100）x+20000，
①当k-100＞0时，即100＜k＜150时，Y随x的增大而增大；
∴当x=38时，Y最大，
②当k-100＜0时，即0＜k＜100时，Y随x的增大而减小；
∴当x=34时，Y最大，
答：当100＜k＜150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当0＜k＜100时，购进电冰箱34台，空调64台，总利润最大．

点评 本题主要考查分式方程的应用、不等式组应用及一次函数的应用，理解题意确定相等关系是列方程和函数解析式的关键．