Question

11．在矩形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度AD向终点D运动，同时点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿CB向终点B运动，连BP、DQ．设运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）求证：四边形BQDP是平行四边形；
（2）设四边形BQDP的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）若PQ⊥BD，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和矩形的性质证明PD=BQ，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据四边形BQDP的面积=矩形ABCD的面积-△APB的面积-△DCQ的面积进行计算即可得到答案；
（3）根据菱形的判定定理、勾股定理列出方程，解方程即可求出t的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
由题意得AP=CQ=t，
∴PD=BQ，
又∵AD∥BC，
∴四边形BQDP是平行四边形；
（2）四边形BQDP的面积=矩形ABCD的面积-△APB的面积-△DCQ的面积
=8-$\frac{1}{2}$×t×2-$\frac{1}{2}$×t×2
=8-2t，
即S=8-2t；
（3）若PQ⊥BD，则平行四边形BQDP是菱形，
此时PB=PQ，即$\sqrt{{t}^{2}+{2}^{2}}$=4-t，
解得t=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，灵活运用定理、结合勾股定理、运用方程的思想是解题的关键．