Question

19．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若AO=2，AT=2$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OT，如图，根据切线的性质得OT⊥PQ，加上AC⊥PQ，则可判断OT∥AC，所以∠TAC=∠OTA，而∠OTA=∠OAT，所以∠TAC=∠OAT；
（2）连接BT，如图，证明Rt△ABT∽Rt△ATC，然后利用相似比克计算出AC的长．

解答 （1）证明：连接OT，如图，
∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠OTA，
而OT=OA，
∴∠OTA=∠OAT，
∴∠TAC=∠OAT，
∴AT平分∠BAC；
（2）解：连接BT，如图，
∵AB为直径，
∴∠ATB=90°，
∵∠TAC=∠BAT，
∴Rt△ABT∽Rt△ATC，
∴$\frac{AT}{AC}$=$\frac{AB}{AT}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴AC=3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是构建△ABT与△ATC相似．