Question

14．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若抛物线y=x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点O的距离分别为OA、OB，且满足OA+OB-4OA•OB+5=0，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根，可知△≥0，据此进行计算即可；
（2）由根与系数的关系和已知条件得出关于k的方程，解方程即可．

解答 （1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（k+1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）≥0
∴k²+2k+1-k²-4≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$
（2）设A、B两点的坐标为A（x₁，0）、B（x₂，0）
   则x₁、x₂是方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根
∵$k≥\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=k+1＞0，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=x₁+x₂=k+1
   OA•OB=|x₁||x₂|=4x₁x₂-5
∴k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，
∴k²-k+2=0，
∴k₁=-1，k₂=2，
又∵k$≥\frac{3}{2}$，
∴k=2

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、一元二次方程的解法等知识；由根与系数的关系和已知条件得出关于k的方程是解决问题（2）的关键．