Question

20．小东同学对图形世界充满兴趣，他先把一个面积为$\frac{27}{4}\sqrt{3}$cm²的正三角形绕着它的中心旋转60°，旋转前后的两个正三角形构成如图（1）的一个六角星；然后将该六角星按图（2）分割后拼成矩形ABCD．请你思考小东的问
题：若将该矩形围成圆柱，则圆柱的高为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$cm
• B． 3$\sqrt{3}$cm
• C． 2$\sqrt{3}$cm 或6 cm
• D． 3cm或3$\sqrt{3}$cm

Answer 1

分析 先利用等边三角形的性质得到等边三角形的边长为3$\sqrt{3}$，从而得到AD=3$\sqrt{3}$，如图2，OH⊥AD于H，AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH=$\frac{3}{2}$，所以AB=3，然后讨论：当母线为AD时，高为3$\sqrt{3}$cm；当母线为AB时，高为3cm．

解答 解：设正三角形的边长为x，则$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，解得x=3$\sqrt{3}$，
所以AD=3$\sqrt{3}$，
如图2，OH⊥AD于H，AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴AB=2OH=3，
∴把矩形ABCD围成圆柱，则圆柱的高为3$\sqrt{3}$cm或3cm．
故选D．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查等边三角形的性质．