Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD交BC边于点M，BD=

1

2

AC，∠BAC=∠ABD=120°，则BM：MC的值是______；作△ABC的中线CF交AM于G，则CG：GF的值是______．

Answer 1

过点A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BE=CE，∠C=∠ABC=30°．
设BD=k，则AB=AC=2k．
在△BDM中，∠DBM=∠ABD-∠ABM=120°-30°=90°．
在△ABE中，∵∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2k，
∴AE=k．
在△AME与△DMB中，
∵

∠AME=∠DMB ∠AEB=∠DBM AE=DB

，
∴△AME≌△DMB（AAS），
∴EM=BM，
∵CE=BE=BM+EM=2BM，
∴MC=EM+CE=3BM，
∴BM：MC=BM：3BM=

1

3

；
如图，作△ABC的中线CF交AM于G，设CF与AE交于点H，连接FM．
∵EM=BM，AF=BF，
∴FM∥BD，FM=

1

2

BD=

1

2

k．
∵AE∥BD，
∴FM∥AE，
∴

CH

HF

=

CE

EM

=2，

HE

FM

=

CE

CM

=

2

3

，
∴CH=2HF，HE=

2

3

FM=

2

3

×

1

2

k=

1

3

k，
∴AH=AE-HE=k-

1

3

k=

2

3

k．
∵

HG

GF

=

AH

FM

=

2 3 k

1 2 k

=

4

3

，
令HG=4t，则GF=3t，HF=7t，CH=14t，
∴CG=CH+HG=18t，
∴CG：GF=18t：3t=6．
故答案为

1

3

；6．