Question

在平面直角坐标系中，Rt△ACB的BC边在x轴上，AC，BC的长是方程x²-14x+48=0的两根，且AC＞BC，AB=BO，D在x轴上，∠ADC=∠CAO．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）在AD上是否存在点M，使△ABM是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）解方程求出AC、BC的长度，再利用勾股定理列式求出AB的长度，然后求出OC的长度，从而得到点A、B、C的坐标，然后利用锐角∠ADC的正切求出CD的长，再求出OD，即可得到点D的坐标；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）分①∠AMB=90°时，利用等腰三角形三线合一的性质可得点M是线段AD的中点，然后写出点M的坐标即可；②∠ABM=90°时，利用∠BAD的正切值求出BM，过点M作ME⊥轴于E，求出∠MBE=∠BAC，再解直角三角形求出ME、BE，再求出OE，然后写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）x²-14x+48=0，
因式分解得，（x-6）（x-8）=0，
∴x-6=0，x-8=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵AC＞BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵AB=BO，
∴OC=OB-BC=10-6=4，
∴点A（-4，8），B（-10，0），C（-4，0），
∵∠ADC=∠CAO，
∴CD=AC÷tan∠ADC=8÷

4

8

=16，
∴OD=CD+OC=16+4=20，
∴点D（-20，0）；

（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
则

-4k+b=8 -20k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=10

，
∴直线AD的解析式为y=

1

2

x+10；

（3）①∠AMB=90°时，∵BD=CD-BC=16-6=10，
∴AB=BD，
∴点M是AD的中点，
∵

-20-4

2

=-12，

0+8

2

=4，
∴点M₁（-12，4）；
②∠ABM=90°时，∵AB=BD，
∴∠ADC=∠BAD，
∴BM=AB•tan∠BAD=10×

4

8

=5，
过点M作ME⊥轴于E，
∵∠MBE+∠ABC=90°，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠MBE=∠BAC，
∴ME=BM•sin∠MBE=5×

3

5

=3，
BE=BM•cos∠MBE=5×

4

5

=4，
∴OE=OB+BE=10+4=14，
∴点M₂（-14，3），
综上所述，点M（-12，4）或M（-14，3）时，△ABM是直角三角形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质以及数学思想和方法是解题的关键，难点在于（3）要根据直角顶点分情况讨论．