题目内容
19．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．
分析 （1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；
（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
解答 （1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
$\left\{\begin{array}{l}{CD′=CD}\\{∠GCD′=∠DCE′}\\{CG=CE′}\end{array}\right.$，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△CBD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
则α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
点评 此题属于四边形的综合题．考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
浠水县实验中学九（1）班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计图如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角是108度．
图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．| A． | 平均数为10，方差是2 | B． | 平均数是11，方差为4 | ||
| C． | 平均数为11，方差为2 | D． | 平均数为12，方差为4 |
如图，在平面直角坐标系中，点C坐标为（5，0），点B坐标为（8，4），过点B作BD∥OC交y轴于点D，点A为线段BD上一点且AB=OC，