Question

17．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．
（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；
（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角以及平行线的性质，即可得到∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，再根据平行四边形ABCD中，∠D=50°=∠ABC，可得出∠EBC的度数；
（2）过M作MN⊥BC于N，过G作GP⊥AB于P，则∠CNM=∠APG=90°，先根据AAS判定△BPG≌△BFG，得到PG=GF，根据矩形GFNM中GF=MN，即可得出PG=NM，进而判定△PAG≌△NCM（AAS），可得AG=CM，再根据等角对等边得到AH=AG，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AE，
∴∠1=∠3，
∵AE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵平行四边形ABCD中，∠D=50°，
∴∠ABC=50°，
∴∠EBC=25°；

（2）证明：如图，过M作MN⊥BC于N，过G作GP⊥AB于P，则∠CNM=∠APG=90°，
由（1）可得，∠1=∠2，
∵AF⊥BC，
∴∠BPG=∠BFG=90°，
在△BPG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CNM=∠APG}\\{∠1=∠2}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△BFG（AAS），
∴PG=GF，
又∵矩形GFNM中，GF=MN，
∴PG=NM，
∵AC⊥CD，CD∥AB，
∴∠BAC=90°=∠AFB，
即∠PAG+∠ABF=∠NCM+∠ABC=90°，
∴∠PAG=∠NCM，
在△PAG和△NCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAG=∠NCM}\\{∠CNM=∠APG}\\{PG=NM}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△NCM（AAS），
∴AG=CM，
∵∠1=∠2，∠BAH=∠BFG，
∴∠AHG=∠FGB=∠AGH，
∴AG=AH，
∴AH=CM．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推理．