Question

1．已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．
（1）如图1：当四边形ABCD是正方形时，作出将△ADF绕点A顺时针旋转90度后的图形△ABM；并判断点M、B、C三点是否在同一条直线上是（填是或否）；
（2）如图1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF=45°，请直接写出线段EF、BE、DF三者之间的数量关系EF=BE+DF；
（3）如图2：当AB=AD，∠B=∠D=90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（2）中的数量关系是否还存在，并说明理由；
（4）在（3）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．

Answer 1

分析 （1）首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由∠ABM=∠D=∠ABC=90°，证得点M、B、C三点共线；
（2）首先由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，然后由∠EAF=45°，证得∠EAM=∠EAF，继而证得△EAM≌△EAF，继而证得结论；
（3）首先延长CB到P使BP=DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），继而证得结论；
（4）首先在BC上截取BP=DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），即可得EF=BE-BP=BE-DF．

解答 （1）解：如图1：
根据旋转的性质，∠ABM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴M、B、C三点在一条直线上．
故答案为：是；

（2）由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=45°，
∴∠EAM=∠EAF，
在△EAM和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠EAM=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF=EM=BM+BE=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；

（3）存在
理由如下：延长CB到P使BP=DF，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠D，
在△ABP和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABP=∠D}\\{BP=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADF（SAS），
∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，
∴∠BAP+∠FAD=∠EAF，
即：∠EAP=∠EAF，
在△APE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{∠EAP=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AFE（SAS），
∴PE=FE，
∴EF=BE+DF；

（4）如图3，补全图形．
证明：在BC上截取BP=DF，
∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠ADF=90°，
∴∠B=∠ADF，
在△ABP和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BP=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADF（SAS），
∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAE+∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAP+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF，
在△APE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{∠EAP=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AFE（SAS），
∴PE=FE，
∴EF=BE-BP=BE-DF．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键．