Question

【题目】在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．

（1）若四边形ABCD为正方形．

①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．

（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．

①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．

Answer 1

【答案】（1)DF=AE；DF=AE；（2）DF=MF=AE；DF′=AE′.

【解析】

（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BD=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD-BF=AB-BE，从而得到DF=AE；
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，结合=, 则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以 =;

（2）①作FM⊥AD，垂足为M．依据勾股定理可得Rt△ABD中，BD= =AB，再根据△DMF∽△ABD，可得=,即可得出DF=AE；

②依据△BEF∽△BAD，可得=,进而得出=,即可得出△ABE′∽△DBF′，进而得到=,即DF′=AE′．

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴BD=AB，

∵EF⊥AB，

∴△BEF为等腰直角三角形，

BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，

即DF=AE，

故答案为：DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，

∴∠ABE=∠DBF，

∵= ， =，

∴，

∴△ABE∽△DBF，

∴=，

即AE与DF的数量关系是：DF=AE；

（2）①AE与DF的数量关系是：DF=AE；

理由：在图3中，作FM⊥AD，垂足为M．

∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，

∴四边形AEFM是矩形，

∴FM=AE，

∵AD=BC=mAB，

∴Rt△ABD中，BD==AB，

∵MF∥AB，

∴△DMF∽△ABD，

∴=，

∴DF=MF=AE；

②AE′和DF′的数量关系：DF'=AE'．

如图3，∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD==AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴，

∴=，

如图4，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴=，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴=，

即DF′=AE′．