题目内容
【题目】如图1,点E为正方形ABCD的边AB上一点,EF⊥EC,且EF=EC,连接AF.
(1)求∠EAF的度数;
(2)如图2,连接FC交BD于M,交AD于N.求证:BD=AF+2DM.
【答案】(1)∠EAF=135°.(2)详见解析.
【解析】
(1)过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M,只要证明△EBC≌△FME(AAS)即可解决问题;
(2)过点F作FG∥AB交BD于点G.首先证明四边形ABGF为平行四边形,再证明△FGM≌△DMC(AAS)即可解决问题;
(1)解:过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠M=∠CEF=90°,
∴∠MEF+∠CEB=90°,∠CEB+∠BCE=90°,
∴∠MEF=∠ECB,
∵EC=EF,
∴△EBC≌△FME(AAS)
∴FM=BE
∴EM=BC
∵BC=AB,
∴EM=AB,
∴EM﹣AE=AB﹣AE
∴AM=BE,
∴FM=AM,
∵FM⊥AB,
∴∠MAF=45°,
∴∠EAF=135°.
(2)证明:过点F作FG∥AB交BD于点G.
由(1)可知∠EAF=135°,
∵∠ABD=45°
∴∠EAF+∠ABD=180°,
∴AF∥BG,
∵FG∥AB,
∴四边形ABGF为平行四边形,
AF=BG,FG=AB,
∵AB=CD,
∴FG=CD,
∵AB∥CD,
∴FG∥CD,
∴∠FGM=∠CDM,
∵∠FMG=∠CMD
∴△FGM≌△CDM(AAS),
∴GM=DM,
∴DG=2DM,
∴BD=BG+DG=AF+2DM.
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