Question

6．如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形△ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）△ACE≌△DCB；
（2）△ACM≌△DCN；
（3）MN∥AB．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得出∠DCB=∠ACE，由SAS即可得出△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性质得出∠EAC=∠BDC，再证出∠ACD=∠DCE，由ASA证明△ACM≌△DCN即可；
（3）由全等三角形的性质得出CM=CN，证出△MCN是等边三角形，得出∠MNC=∠NCB=60°，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}&{\;}\\{∠DCB=∠ACE}&{\;}\\{BC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）由（1）得：△ACE≌△DCB，
∴∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠BDC}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
（3）由（2）得：△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°=∠NCB，
∴MN∥AB．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．