Question

16．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，
（1）如图1，
①线段CD和BE的数量关系是CD=BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①结论：CD=BE．②结论：AD=BE+DE，只要证明△ACD≌△CBE，即可解决问题．
（2）结论不成立．结论：DE=AD+BE．证明方法类似（1）．

解答 解：（1）①结论：CD=BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠B}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．

（2）②中的结论不成立．结论：DE=AD+BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠B}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE=BE+AD，
∴DE=AD+BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会证明角相等的方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．