Question

10．如图在△ABC中，∠BAD=∠CAD，∠C＞∠B，AF⊥BC于点F．求证：∠DAF=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

Answer 1

分析 首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），然后根据三角形的内角和定理及等式的性质表示出∠FAD，最后根据等量代换即可得证．

解答 证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC（角平分线定义）．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）．
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）（等量代换）．
∵AF⊥BC（已知），
∴∠AFC=90°（垂直定义）．
在△AFC中，∠AFC+∠C+∠FAC=180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠FAC=180°-∠AFC-∠C（等式性质）=90°-∠C．
∴∠FAD=∠DAC-∠FAC
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-$\frac{1}{2}$（180°-2∠C）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C-180°+2∠C）
=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识．解决问题的关键是运用三角形内角和定理以及角的和差关系进行计算．