Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB上动点，（不与点A、点B重合），连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求∠EAC的度数；
（2）求证：AD²+AE²=2CD²；
（3）若AB=2，在点D运动的过程中，四边形ADCE的周长和面积，一个是常量，一个是变量
①常量是面积，它的值是1
②变量是周长，求它的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△BCD≌△ACE，得出∠CAE=∠CBD，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论；
（3）由（1）的△BCD≌△ACE，得出四边形ADCE的面积等于△ABC的面积；再判断出AD+AE=2，进而判断出四边形ADCE的周长要最小，得出CD⊥AB即可得出结论．

解答 解：（1）由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°；
（2）如图，

连接DE，
由（1）知，∠BAC=45°=∠CAE，
∴∠DAE=90°，根据勾股定理得，DE²=AD²+AE²，
由旋转知，∠DCE=90°，CD=CD，
∴DE²=2CD²，
∴AD²+AE²=2CD²；

（3）①
在Rt△ABC中，AC=BC，AB=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=1
由（1）知，△BCD≌△ACE，BD=AE，
∴S_△BCD=S_△ACE，
∴S_{四边形ADCE}=S_△ACE+S_△ACD=S_△BCD+S_△ACD=S_△ABC=1，
故答案为：面积，1；

②由①知，BD=AE，
∴AD+AE=AD+BD=AB=2，
由旋转知，CD=CE
∴L四边形ADCE=AD+AE+CE+CD=AB+2CD=2+2CD，
∴要四边形ADCE的周长最小，则CD最小，
∵点D在等腰直角三角形的斜边上，
∴CD⊥AB时，CD最小，最小值为$\frac{1}{2}$AB=1，
∴四边形ADCE的周长最小为2+2×1=4．
故答案为：周长．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出∠CAE=∠ABC，解（2）的关键是构造直角三角形，解（3）的关键是判断出四边形ADCE的面积是常量，周长是变量．