Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2），B（$\frac{1}{2}$，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x满足条件$\frac{1}{2}$＜x＜2时，一次函数大于反比例函数的值；
（3）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）由图象得出；
（3）列方程组，一个交点则△=0，可得结论．

解答 解：（1）把点A（2，2）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，
得：k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{4}{x}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$n=4，
n=8，
∴B（$\frac{1}{2}$，8），
则$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=2}\\{\frac{1}{2}a+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-4x+10；
（2）由图象得：当$\frac{1}{2}$＜x＜2时，一次函数大于反比例函数的值；
故答案为：$\frac{1}{2}$＜x＜2；
（3）设平移后的解析式为y=-4x+10-m与y=$\frac{4}{x}$图象只有一个交点，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+10-m}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
得：4x²+（m-10）x+4=0，
∴△=（m-10）²-4×4×4=0，
解得：m=2或18．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的交点即是两函数解析式所列方程组的解，也可以利用根的判别式判断交点的个数．