Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，且点D是AB的中点，E为△ABC外一点，连接AE、DE，连接CE交AB于F，且∠CAD=∠CED．
（1）若AC=10，求CD的长；
（2）求证：CE=AE+DE．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30度角的性质以及直角三角形斜边中线定理即可解决．
（2）在CE上截取一点M使得AM=AE，先证明△AME是等边三角形，再证明△ACM≌△ADE得CM=ED，由此即可证明．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，
∵AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10．
（2）证明：在CE上截取一点M使得AM=AE．
∵AD=DB=CD，∠CAB=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=∠ADC=60°，
∵∠CAD=∠CED，AC=AD，
∴A、C、D、E四点共圆，
∴∠AEM=∠ADC=60°，
∵AM=AE，
∴△AME是等边三角形，∠CAM=∠DAE，
∴∠MAE=60°=∠CAD，AM=AE=EM，
在△ACM和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAM=∠DAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△ADE，
∴CM=DE，
∴CE=CM+EM=AE+ED．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定、以及圆内接四边形性质等知识，解题的关键是发现A、C、D、E四点共圆，学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．