Question

5．如图，已知抛物线y=ax²-x+c经过点Q （-2，4），且它的顶点P的横坐标为-1．设抛物线与x轴相交于A，B两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A，B两点的坐标；
（3）设PB与y轴交于C点，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据Q坐标，以及顶点P坐标，列出关于a与c的方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）对于抛物线解析式，令y=0，求出x的值，即可确定出A与B坐标；
（3）由P与B坐标，利用待定系数法确定出直线PB解析式，令x=0求出y的值，确定出OC的长，再由AB的长，求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（1）把Q（-2，4）代入抛物线解析式得：4a+2+c=4①，
根据顶点坐标公式得：x=-$\frac{-1}{2a}$=-1，即a=-$\frac{1}{2}$②，
把②代入①得：c=4，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）对于抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
令y=0，得到-$\frac{1}{2}$x²-x+4=0，
整理得：x²+2x-8=0，即（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4，
则A（-4，0），B（2，0）；
（3）设直线PB解析式为y=kx+b，
把P（-1，$\frac{9}{2}$），B（2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=\frac{9}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线PB解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3，
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），OC=3，
∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=9．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．