题目内容

如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒 $数学公式$ cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．
（1）当点P在线段AO上运动时．
①请用含x的代数式表示OP的长度；
②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．

解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
∵AB=2，
∴OB=OD=1，OA=OC= $\text{[math]}$ ，
∴OP= $\text{[math]}$ ，
②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵DQ=x，
∴BQ=2-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ= $\text{[math]}$ ×（2-x）（ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ x）+ $\text{[math]}$ ×（2-x）× $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ；

（2）能成为梯形，分三种情况：

①当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，
此时PB不平行QE，
∴x= $\text{[math]}$ 时，四边形PBEQ为梯形．

②当PE∥BQ时，P为OC中点，

∴AP= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
此时，BQ=2-x= $\text{[math]}$ ≠PE，
∴x= $\text{[math]}$ 时，四边形PEQB为梯形．

③

当EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，
∴△QEH∽△BPO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x=1（x=0舍去），
此时，BQ不平行于PE，
∴x=1时，四边形PEQB为梯形．
综上所述，当x= $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．
分析：（1）①根据菱形的性质求出OA的长度，再求出AP的长等于2 $\text{[math]}$ x，OP的长即可求出；
②过E作EH⊥BD于H，表示出BQ的长等于2-x，分别求出△BPQ和△BEQ的面积，两个三角形的面积之和就是四边形PBEQ的面积为y．（2）根据梯形的定义，可以分三种情况讨论：
①PQ∥BE时，因为∠EBQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
②PE∥BQ时，因为点E是CD的中点，所以点P是CO的中点，根据AP的长度等于速度乘以时间列出算式即可求出；
③EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，得到△QEH与△BPO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式即可求出x的值．
点评：本题考查菱形的性质及梯形的判定方法，熟练掌握性质和定义是解本题的关键．本题还要注意说明以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形时，因为底边不确定，所以一定要分情况讨论．