Question

15．已知a，b，c，d都是正数，且满足a^-2=2，b^-3=3，c^-4=4，d^-5=5，请你探究a，b，c，d中哪一个数最小？

Answer 1

分析 先求出a、c的值，再比较出a³与b³的大小，再求出b，d的值，比较出b¹⁵与d¹⁵的大小即可．

解答 解：∵a^-2=2，b^-3=3，c^-4=4，d^-5=5，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$=2，$\frac{1}{{b}^{3}}$=3，$\frac{1}{{c}^{4}}$=4，$\frac{1}{{d}^{5}}$=5，
∵a，b，c，d都是正数，
∴a=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b³=$\frac{1}{3}$，d⁵=$\frac{1}{5}$，
∴a³=$\frac{2\sqrt{2}}{8}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$≈$\frac{1.41}{4}$≈0.35＞$\frac{1}{3}$，
∴a=c＞b．
∵b=$\root{3}{\frac{1}{3}}$，d=$\root{5}{\frac{1}{5}}$
∴b¹⁵=（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，d¹⁵=（$\frac{1}{5}$）³=$\frac{1}{125}$，
∴b¹⁵＜d¹⁵，
∴b＜d，
∴b最小．

点评 本题考查的是负整数指数幂，解答此题的关键是把未知数的指数化为相同的数，再比较大小．