Question

14．在正方形ABCD中，点E在射线BC上，点F在BC边的延长线上，点G在∠DCF的角平分线上，∠AEG=90°，若AB=2，CE=1，则线段EG长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 延长BA到M使得AM=CE，只要证明△MAE≌△CEG，得到EG=AE，求出AE即可解决问题．

解答 解：延长BA到M使得AM=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=∠BCD=∠DCF=90°，
∴BM=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∵CG平分∠DCF，
∴∠GCE=45°=∠M，
∵∠AEG=90°，
∴∠GEF+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
∵∠GEF+∠CEG=180°，∠BAE+∠MAE=180°，
∴∠CEG=∠MAE，
在△MAE和△CEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠GCE}\\{AM=CE}\\{∠MAE=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△CEG，
∴EG=AE，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=2，BE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴EG=$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．