Question

7．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i₁=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i₂（结果保留根号）

Answer 1

分析 作DE⊥AB，可得∠BDE=∠BAC，即可知tan∠BAC=tan∠BDE，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，设DC=2x，由角平分线性质得DE=DC=2x，再分别表示出BD、AC的长，最后由坡比定义可得答案．

解答 解：过点D作DE⊥AB于点E，

∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠BDE，即$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
设DC=2x，
∵∠DAC=∠DAE，∠DEB=∠C=90°，
∴DE=DC=2x，
则BE=x，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BC=CD+BD=（2+$\sqrt{5}$）x，
∴AC=2BC=（4+2$\sqrt{5}$）x，
∴新坡面AD的坡比i₂=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2x}{（4+2\sqrt{5}）x}$=$\sqrt{5}$-2．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-坡角坡比问题，根据题意表示出所需线段的长度是解题的切入点和关键．