Question

正方形ABCD中，M是AB上的一点，E是AB的延长线上一点，N是∠CBE的平分线上一点，且MN=DM．
（1）求证：MN⊥DM；
（2）已知AB=2，设AM=x，求DN的长．（用含x的代数式表示）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AD上取一点P，使DP=BM，连接PM，利用正方形的性质，证得△MPD≌△NBM，得出结论；
（2）先在Rt△ADM中利用勾股定理求出DM，再根据△DMN是等腰直角三角形即可求出斜边DN的长．

解答：（1）证明：如图，在AD上取一点P，使DP=BM，连接PM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°．
∵DP=BM，
∴AP=AM，
∴∠APM=45°，∠MPD=135°．
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=45°，∠NBM=135°．
在钝角△MPD与钝角△NBM中

DM=MN DP=MB ∠MPD=∠NBM=135°

，
∴△MPD≌△NBM（SSA），
∴∠PDM=∠BMN，
∵∠PDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°，
即MN⊥DM；

（2）解：在Rt△ADM中，∵AD=2，设AM=x，∠A=90°，
∴DM=

AM2+AD2

=

x2+4

．
∵MN=DM，MN⊥DM，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴DN=

2

DM=

2x2+8

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理；把正方形和全等三角形的知识结合起来，巧妙作出辅助线解决问题．注意，SSA一般不能证明两个三角形全等，但是当两个三角形的形状相同时，利用SSA可以判定两个三角形全等．