Question

如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x²-2x-3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．

解答：解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x²-2x-3，
解得：x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO²=AO•BO=3，
∴CO=

3

，
∴CD=CO+OD=3+

3

，
故答案为：3+

3

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．