Question

7．已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，E为对称轴与x轴的交点，A（1，0），B（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第四象限对称轴左侧上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过C点作射线CP交对称轴于K，CM⊥DE交抛物线于M，连接PM交对称轴于R，若DK=3RN，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入抛物线解析式即可．
（2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，-m²+4m-3），根据s=S_△PCF+S_△PBF-S_△BCF即可解决．
（3）如图2中，设点P坐标（m，-m²+4m-3），先求出直线PC、PM的解析式，再求出点K、R坐标，列方程解决即可．

解答 解（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=-x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3  
 （2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，-m²+4m-3）
∵点C（0，-3），
∴CF=BF=3，
∴s=S_△PCF+S_△PBF-S_△BCF=$\frac{1}{2}$×3×（-m²+4m-3+3）+$\frac{1}{2}$×3×（3-m）-$\frac{1}{2}$×3×3
∴S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m
（3）如图2中，设点P坐标（m，-m²+4m-3），
设直线PC的解析式为：y=kx-3，把点p代入得k=-m+4，
∴直线PC为y=（-m+4）x-3，
∴点K坐标（2，-2m+5），
∵点M坐标（4，-3），
设直线PM为y=k′x+b，把P、M两点代入得$\left\{\begin{array}{l}{mk′+b=-{m}^{2}+4m-3}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=4m-3}\end{array}\right.$，
∴直线PM为y=-mx+4m-3，
∴的R坐标为（2，2m-3），
∵DK=3RN，D（2，1），N（2，-3）
∴-2m+5-1=3[2m-3-（-3）]，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识，学会待定系数法求函数解析式，在坐标系中会利用分割法求三角形面积，解题的关键是转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．