Question

16．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k类生长点”．
（1）点P（1，4）的“2类生长点”P′的坐标为（9，6）；
（2）若点P（a，b）在第一象限内一点，点P的“1类生长点”为P′点，点A（3，4），若四边形OPP′A是菱形，试求该菱形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用“k类生长点”的定义求解；
（2）先得到点P的“1类生长点”为P′点坐标为（a+b，a+b），则可判断点P′在第一象限的角平分线上，再利用菱形的性质可判断点P与点A关于OP′对称，所以P（4，3），则P′（7，7），然后利用勾股定理计算出
∴AP和OP′，再利用菱形的面积公式求解．

解答 解：（1）点P（1，4）的“2类生长点”P′的坐标为（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）；
故答案为（9，6）；
（2）∵点P的“1类生长点”为P′点坐标为（a+b，a+b），
∴点P′在第一象限的角平分线上，
∵四边形OPP′A是菱形，
∴点P与点A关于OP′对称，
∴P（4，3），
∴P′（7，7），
∴AP=$\sqrt{2}$，OP′=7$\sqrt{2}$，
∴该菱形的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=7．

点评 本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 解决（1）小题的关键是理解“k类生长点”的定义．