Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE=90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．

Answer 1

分析 （1）根据等角的余角相等，证明∠AFB=∠FEC即可解决问题；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．由∠AFE=∠ADE=90°，可知OA=OD=OE=OF，推出A、D、E、F四点共圆，推出∠AED=∠AFD，推出当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF=CF=4，由△ABF∽△FCE，可得$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BF}{EC}$，求出EC即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE=∠ADE=90°，
∴OA=OD=OE=OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED=∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF=CF=4，
∵△ABF∽△FCE，
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BF}{EC}$，
∴$\frac{6}{4}$=$\frac{4}{EC}$，
∴EC=$\frac{8}{3}$，
∴DE=DC-CE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∴当DE=$\frac{10}{3}$时，∠AED的值最大．

点评 本题考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．