Question

19．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABE=∠CBE；
（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？

Answer 1

分析 （1）依照题意补全图形即可；
（2）连接CE，只要证明△ABE≌△CBE即可．
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=2，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）依题意补全图形，如图1所示．


（2）证明：连接CE，如图2所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AN．
∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠ABE=∠CBE．
∴点B，E在AC的垂直平分线上，

（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，CN=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴S_梯形DFCN=$\frac{1}{2}$（DF+CN）•CF=$\frac{1}{2}$（ $\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．