Question

（1）阅读填空：

如图1，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系． 
解：∠B+∠E=∠BCE 
过点C作CF∥AB，
则∠B=∠1【

 

】
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴CF∥DE
∴∠E=∠2【

 

】
∴∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠BCE． 
（2）应用解答：
观察上面图形与结论，解决下面的问题：
如图2，∠DAB+∠B+∠BCE=360°，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．
（3）拓展深化：
如图3，在前面的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQR，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变，可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：计算题

分析：（1）答案为两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；
（2）首先设∠BAF=x°，∠BCF=y°，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，根据平行线的性质，可得∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90-（x+2y）=180-2（2x+y），继而求得答案．
（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠MPQ=∠PQR=

1

2

∠PQG，然后根据∠APQ=∠PAH+∠PQG，
列式表示出∠NPM=

1

2

∠APQ-

1

2

∠PQG=

1

2

（∠APQ-∠PQG）=

1

2

∠PAH=30°，从而判定②正确．

解答：解：（1）故答案为两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；

（2）设∠BAF=x°，∠BCF=y°，
∵∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF=∠BAF=x°，∠BCG=∠BCF=y°，∠BAH=2x°，∠GCF=2y°，
过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN=∠HAF=x°，∠CFN=∠GCF=2y°，∠ABM=∠BAH=2x°，∠CBM=∠GCB=y°，
∴∠AFC=（x+2y）°，∠ABC=（2x+y）°，
∵∠F的余角等于2∠B的补角，
∴90-（x+2y）=180-2（2x+y），
解得：x=30，
∴∠BAH=60°．

（3）如图，
由（1）可知∠APQ=∠PAH+∠PQG，
∴∠PAH=∠APQ-∠PQG，
∵QR平分∠PQR，PM∥QR，
∴∠MPQ=∠PQR=

1

2

∠PQG，
∵PN平分∠APQ，
∴∠NPM=

1

2

∠APQ-

1

2

∠PQG=

1

2

（∠APQ-∠PQG）=

1

2

∠PAH，
∵点P是AB上一点，
∴∠PAH=60°，
∴∠NPM=30°；
∴①∠APQ+∠NPM的值随∠DGP的变化而变化；②∠NPM的度数为30°不变．

点评：本题考查了角平分线的定义，平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．