Question

19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG与GF的比．

Answer 1

分析 （1）可得到三组三角形相似；
（2）先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB，则∠ADG=∠C，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADG∽△ACF，然后利用相似比和比例的性质求$\frac{AG}{GF}$的值．

解答 解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG=∠C，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AG}{GF}$=2．

点评 本题考查了相似三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．