Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E是边AC上的一动点，点F是边BC上的一动点．
（1）若AE=CF，试证明DE=DF；
（2）在点E、点F的运动过程中，若DE⊥DF，试判断DE与DF是否一定相等？并加以说明．
（3）在（2）的条件下，若AC=2，四边形ECFD的面积是一个定值吗？若不是，请说明理由，若是，请直接写出它的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，运用SAS判定△DAE≌△DCF，即可得出对应边DE=DF；
（2）根据已知条件，运用ASA判定△DAE≌△DCF，即可得出DE与DF一定相等；
（3）根据△DAE≌△DCF，可得△ADE的面积=△DCF的面积，进而得出四边形ECFD的面积=△DCF的面积+△CDE的面积=△ADE的面积+△CDE的面积=△ACD的面积，再根据△ACD的面积=$\frac{1}{2}$×△ABC的面积=1，即可得出四边形 ECFD的面积是一定值1．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF；

（2）DE与DF一定相等．
证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；

（3）四边形 ECFD的面积是一定值1．
由（2）可得，△DAE≌△DCF，
∴△ADE的面积=△DCF的面积，
∴四边形ECFD的面积=△DCF的面积+△CDE的面积=△ADE的面积+△CDE的面积=△ACD的面积，
又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
又∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积=$\frac{1}{2}$×△ABC的面积=1，
即四边形ECFD的面积=1．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．