Question

7．阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y-2$\sqrt{xy}={（\sqrt{x}）^2}+{（\sqrt{y}）^2}-2\sqrt{x}•\sqrt{y}={（\sqrt{x}-\sqrt{y}）^2}$≥0
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，当且仅当“x=y”时，等号成立．
示例：当x＞0时，求y=x+$\frac{1}{x}$+4的最小值．
解：$y=（x+\frac{1}{x}）+4≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+4=6，当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，y的最小值为6．
（1）尝试：当x＞0时，求y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为$\frac{{{n^2}+n}}{10}$万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=$\frac{所有费用之和}{年数n}$）？最少年平均费用为多少万元？

Answer 1

分析 （1）首先根据y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$，可得y=x+$\frac{1}{x}$+1，然后求出当x＞0时，y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最小值是多少即可．
（2）首先根据题意，求出年平均费用=（$\frac{{{n^2}+n}}{10}$+0.4n+10）÷n=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+\frac{1}{2}$，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+1$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，
∴当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，y的最小值为3．

（2）年平均费用=（$\frac{{{n^2}+n}}{10}$+0.4n+10）÷n=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+\frac{1}{2}$$≥2\sqrt{\frac{n}{10}×\frac{10}{n}}+\frac{1}{2}$=2+0.5=2.5，
∴当$\frac{n}{10}=\frac{10}{n}$，
即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．

点评 此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．