Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，正方形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁C₂₀₁₀的面积为（　　）

• A、5×(

  3

  2

  )2010
• B、5×(

  3

  2

  )4020
• C、5×(

  9

  4

  )2009
• D、5×(

  9

  4

  )2011

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：先利用ASA证明△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的边长等于正方形ABCD边长的

3

2

以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，
∵

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此类推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍，
∴第2011个正方形的边长为（

3

2

）²⁰¹¹BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴正方形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁C₂₀₁₀的面积为[（

3

2

）²⁰¹¹BC]²=5×（

3

2

）⁴⁰²²=5×（

9

4

）²⁰¹¹．
故选D．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到正方形的性质及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，属规律性题目．