Question

9．如图，⊙O的直径为1，A是半圆上的一点，且∠AON=60°，∠AOB的平分线OB与⊙O相交于点B，点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 找点A或点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答 解：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P，此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC，连接CE，OE，
∴∠AON=60°，∠NOE=$\frac{1}{2}$∠AON=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即AP+BP的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，此题的难点是确定点P的位置：找点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AE于MN的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数求出∠CAE，根据勾股定理求出AE即可．