题目内容
4．
已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+2（m+1）x-m+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其对称轴是直线x=4．（1）求抛物线的解析式是顶点坐标；
（2）求C点的坐标及△ABC的面积；
（3）已知与x轴平行的直线y=t及抛物线对称轴上的点D（4，t+1），问是否存在这样的t值，使得抛物线上任意一点P（a，b）到这条直线的距离等于P点到D点的距离？若存在，则请求出t的值；若不存在，则说明理由．
分析 （1）由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，求得m的数值，得出函数解析式，再进一步求得顶点坐标即可；
（2）令x=0求得与y轴交点C的坐标，令y=0得出与x轴交点的A、B两个坐标，进一步求得△ABC的面积即可；
（3）设出点P的坐标，利用两点之间的距离求得PE、PD，联立方程，求得t的数值，则存在，否则不存在．
解答 解：（1）由x=-2（m+1）=4，
解得m=-3，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-4x+4，顶点坐标为（4，-4）；
（2）抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-4x+4与y轴交于点C的坐标为（0，4），
令y=$\frac{1}{2}$x2-4x+4=0，
解得：x1=4+2$\sqrt{2}$，x2=4-2$\sqrt{2}$，
点A的坐标为（4-2$\sqrt{2}$，0），B的坐标为（4+2$\sqrt{2}$，0），
因此△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$；
（3）存在这样的t值，使得抛物线上任意一点P（a，b）到这条直线的距离等于P点到D点的距离．
设P点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m2-4m+4），点D（4，t+1），
PE=$\frac{1}{2}$m2-4m+4-t，
PD=$\sqrt{（4-m）^{2}+[t+1-（\frac{1}{2}{m}^{2}-4m+4）]^{2}}$
则$\frac{1}{2}$m2-4m+4-t=$\sqrt{（4-m）^{2}+[t+1-（\frac{1}{2}{m}^{2}-4m+4）]^{2}}$，
解得：t=-$\frac{9}{2}$，
因此当t=-$\frac{9}{2}$使得抛物线上任意一点P（a，b）到这条直线的距离等于P点到D点的距离．
点评 此题考查二次函数的综合试题，待定系数法求函数的解析式与坐标轴的交点坐标，两点之间的距离公式，注意数形结合思想的运用．
如图，已知点A（1，4），点B（6，$\frac{2}{3}$）是一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）图象的交点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D．
甲、乙两人在一条长为500m的直线跑道上同起点、同向匀速跑步，已知甲先出发2s后乙再出发，先到终点的人原地休息，如图表示的是甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）的函数关系，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=23，其中正确的是（ ）| A． | ①②③ | B． | ①② | C． | ①③ | D． | ②③ |
某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，$\sqrt{3}$≈1.73）
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．
如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为（ ）| A． | 150° | B． | 120° | C． | 60° | D． | 30° |
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2经过A、B；两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．已知A（-1，0），B（3，0）．