Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；

（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】相似形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；

（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；

（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

∵AC⊥BD

∴AD==50．

∴菱形ABCD的周长为200．

（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．

①当0＜t≤40时，如答图1，

∵sin∠OAD===，

∴MP=AM•sin∠OAD=t．

S=DN•MP=×t×t=t²；

②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，

∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．

∴S_△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t²+28t=（t﹣35）²+490．

∴S=

当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．

当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．

综上所述，S的最大值为480．

（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．

方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，

则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18．

∴OF=12，∴tan∠NOD===2．

作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．

∴S_△ONF=OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG．

∴FG===，

∴tan∠GOF===．

设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG

∴tan∠DPK===，

∴PK=．

根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．

∴存在两个点P到OD的距离都是．

方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．

过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．

当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，

∴，即．

∴NG=24，DG=18．

∵EF垂直平分OD，

∴OE=ED=15，EG=NH=3．

设OI=R，EI=x，则

在Rt△OEI中，有R²=15²+x²        ①

在Rt△NIH中，有R²=3²+（24﹣x）²     ②

由①、②可得：

∴PE=PI+IE=．

根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．

∴存在两个点P，到OD的距离都是．

（注：只求出一个点P并计算正确的扣．）

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．