Question

如图，把等边△ABC的外接圆对折，使点A的劣弧BC的中点M重合，折痕分别交AB、AC于D、E，若BC=6，则线段DE的长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接AM、OB，则其交点O即为此圆的圆心，根据正三角形的性质可知，∠OBC=∠OAD=30°，再根据直角三角形的性质及勾股定理可求出OB的长；在Rt△AOD中，进而可依据特殊角的三角函数值即可求出OD的长，由垂径定理得出DE的长即可．

解答：解：连接AM、OB，
则其交点O即为此圆的圆心；
∵△ABC是正三角形，
∴∠OBC=∠OAD=30°，DE∥BC，
在Rt△OBF中，BF=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴OB=

BF

cos30°

=2

3

，
∴OA=OB=2

3

；
在Rt△AOD中，∠DAO=30°，
∴OD=OA•tan30°=2

3

×

3

3

=2，
DE=2DO=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，解直角三角形的性质，综合性比较强，难度适中．