Question

已知：关于x的一元二次方程mx²+（m-3）x-3=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线y=mx²+（m-3）x-3，证明：此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点（设x轴上的定点为点A，y轴上的定点为点C）；
（3）设此函数的图象与x轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）证明方程判别式为非负数即可；
（2）求出mx²+（m-3）x-3=0的两个根，可得x轴上的定点，根据解析式可确定y轴定点为（0，3）；
（3）先确定A、B、C三点坐标，求出当∠ACB是直角时，点B的坐标，依次为临界，确定△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围．

解答：解：（1）△=（m-3）²+12m=（m+3）²
∵（m+3）²≥0
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根．

（2）由公式法：x1，2=

3-m± (m-3)2+12m

2m

=

3-m±(m+3)

2m

∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A（-1，0），C（0，-3）．

（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0）．
观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意．
当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，
可证△AOC∽△COB．
∴

AO

CO

=

CO

BO

．
∴|OC|²=|OA|•|OB|．
∴3²=1×|OB|．
∴OB=9．即B（9，0）．
∴当0＜

3

m

＜9时，△ABC为锐角三角形．
即当m＞

1

3

时，△ABC为锐角三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了根的判别式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用，难度较大．