Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=

1

2

x+2交于C、D两点，其中点C  在y轴上，点D的坐标为（3，

7

2

）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若点P在CD上方，则四边形PCOD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=

1

2

x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）作DM⊥x轴于点M，设面积为S，根据点P的横坐标为m，且点P在抛物线y=-x2+

7

2

x+2上，得到点P的坐标为（m，-m²+

7

2

m+2），则PE=-m²+

7

2

m+2，OE=m，GE=3-m，DG=

7

2

，根据S_{四边形OCPD}=S_梯形OCPE+S_梯形PEGD-S_△DOG确定二次函数，求得当m=

3

2

时有最值即可．

解答：解：（1）在直线解析式y=

1

2

x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，

7

2

）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴c=2，
-9+3b+c=

7

2

，
解得b=

7

2

，c=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+

7

2

x+2；

（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=2，
∴将直线y=

1

2

x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=

1

2

x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=

1

2

x+4
联立

y= 1 2 x+4 y=-x2+ 7 2 x+2

解得x₁=1，x₂=2，∴m₁=1，m₂=2；
将直线y=

1

2

x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=

1

2

x
联立

y= 1 2 x y=-x2+ 7 2 x+2

解得x₃=

3+ 17

2

，x₄=

3- 17

2

（在y轴左侧，不合题意，舍去），
∴m₃=

3+ 17

2

∴当m为值为1，2或

3+ 17

2

时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形；

（3）如答图2，作DM⊥x轴于点M，设面积为S，∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线y=-x2+

7

2

x+2上，
∴点P的坐标为（m，-m²+

7

2

m+2），
则PE=-m²+

7

2

m+2，OE=m，GE=3-m，DG=

7

2

，
∴S_{四边形OCPD}=S_梯形OCPE+S_梯形PEGD-S_△DOG
=

1

2

[（PE+OC）•OE+（PE+DG）•EG-OG•DG]
=

1

2

[（-m²+

7

2

m+2+2）•m+（-m²+

7

2

m+2+

7

2

）（3-m）+3×

7

2

]
=-

3

2

m²+

9

2

m
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

51

8

，
∴当m=

3

2

时面积最大，
∴P(

3

2

，5)．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；