Question

5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，与y轴交于D点；点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△DOC中，利用∠DCO的正切计算出OD=4，则D（0，4），再把C点和D点坐标分别代入y=kx+b得关于k、b的方程组，解方程组求出k和b，于是得到一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征确定A（1，6），再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）由两个函数解析式组成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；
（3）根据三角形面积公式，利用S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC进行计算即可．

解答 解：（1）在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=2，
∴OD=2OC=4，则D（0，4），
把C（-2，0），D（0，4）分别代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=2x+4；
当y=6时，2x+4=6，解得x=1，则A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}&{\;}\\{y=-2}&{\;}\end{array}\right.$，
∴B（-3，-2），
（3）连接OA、OB，如图所示：
S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×2×2=8

点评 本题考查了反比例函数和一次函数解析式的求法、函数图象的交点以及三角函数；由待定系数法求出函数解析式是解决问题的关键．